根号5是无理数吗（根号5不是有理数）
本文目录一览：
- 1、根号5是无理数吗？求解！！哭求学霸
- 2、怎么证明根号5是无理数
- 3、根号5是无理数吗
- 4、怎么证明根号5是无理数？
- 5、求证：根号5是无理数
根号5是无理数吗？求解！！哭求学霸
通俗地说，无理数是不能化为分数的数，
严格地说，无理数就是不能写成两个整数比的数。
用反证法证明√5是无理数。
设√5不是无理数而是有理数，则设√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)
两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)
p^2含有因数5，设p=5m
代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2
q^2含有因数5，即q有因数5
这样p,q有公因数5，
这与假设p,q最大公约数为1矛盾，
√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，
√5不是有理数而是无理数。
怎么证明根号5是无理数
1、设√5不是无理数而是有理数，则设√5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)。
2、两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。
3、p^2含有因数5，设p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5。
4、这样p,q有公因数5，这与假设p,q最大公约数为1矛盾。
5、√5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，
所以，√5不是有理数而是无理数。
扩展资料：
1、常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等。
2、无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。
3、无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。
参考资料来源：百度百科-无理数
根号5是无理数吗
根号5是无理数
假设 根号5是有理数,
设 根号5=p/q,
其中,p,q是正的自然数且互质.
则由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除,所以p也能被5 整除（反证法可以证得：如果p不能被5整除,则p^2也不能被5整除,得证）
设p=5*n(n是正的自然数)
则5q^2=p^2=25n^2
这样 q^2也能被5整除,q也能被5整除
因此p与q有公因子5.
这与p,q互质相矛盾
从而 证明了根号5为无理数.
怎么证明根号5是无理数？
证明：若根号5是有理数，则设根号5=m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质）（互质是指若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。
）
所以
（m/n）^2=根号5
^2
=5
所以
m^2/n^2=5
所以
m^2=5*n^2
所以
m^2是偶数，设m=2k（k是整数）
所以
m^2=10k^2=5n^2
所以
n^2=2k^2
所以
n是偶数
因为
m、n互质
所以
矛盾
所以
根号5不是有理数，它是无理数
求证：根号5是无理数
证明：可以用‘反证法’来证明：
假设√5是有理数，那么它一定可以用一个最简的既约分数a/b表示，
√5=a/b
两边同时平方，得
5=a^2/b^2
得：a^2=5b^2，
由此可见，a是5的倍数，于是设a=5k，则有
(5k)^2=5b^2
25k^2=5b^2
得：b^2=5k^2，
也就是说b也是5的倍数，
综上，a、b都是5的倍数，那么a/b就不是最简分数了，与假设矛盾，
因此，根号5不是有理数，必定是无理数。