根号5是无理数吗（求证:根号5是无理数）

2024-02-24 12:15:49次浏览条评论

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。根号5是无理数吗根号5是无理数。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两...，以下是对"根号5是无理数吗"的详细解答!

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无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

根号5是无理数吗

根号5是无理数。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等，无理数的特征是无限的连分数表达式，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

证明过程

1.设根号下5不是无理数而是有理数，则设根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)。

2.两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

3.p^2含有因数5，设p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5。

4.这样p,q有公因数5，这与假设p,q最大公约数为1矛盾。

5.根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，

所以，根号下5不是有理数而是无理数。

证明：可以用‘反证法’来证明：

假设√5是有理数，那么它一定可以用一个最简的既约分数a/b表示，

√5=a/b

两边同时平方，得

5=a^2/b^2

得：a^2=5b^2，

由此可见，a是5的倍数，于是设a=5k，则有

(5k)^2=5b^2

25k^2=5b^2

得：b^2=5k^2，

也就是说b也是5的倍数，

综上，a、b都是5的倍数，那么a/b就不是最简分数了，与假设矛盾，

因此，根号5不是有理数，必定是无理数。

通俗地说，无理数是不能化为分数的数，

严格地说，无理数就是不能写成两个整数比的数。

用反证法证明√5是无理数。

设√5不是无理数而是有理数，则设√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)

两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)

p^2含有因数5，设p=5m

代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2

q^2含有因数5，即q有因数5

这样p,q有公因数5，

这与假设p,q最大公约数为1矛盾，

√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，

√5不是有理数而是无理数。