向量三角不等式（直角三角形公式）

本文目录一览：

• 1、什么叫向量的三角不等式，什么条件下成立？
• 2、关于向量加减的三角不等式
• 3、向量不等式有哪些?

什么叫向量的三角不等式，什么条件下成立？

三角不等式：

|a|-|b|≤|a+b|，它对任意实数都成立，其中等号成立的条件可以这样来理解，如果a，b都为0，显然等号成立，如果a=0，b不等于0，左边为负，右边为正，等号不成立，如果a不等于0，b等于0，等号显然成立。

当a,b都不为0时，根据有理数的加法法则可以知道a，b必为异号，且必须有|a|≥|b|因为|b|-|a|≤|a+b|且|a|-|b|≤|a+b|，所以|a+b|不小于|a|-|b|及它的相反数，所以||a|-|b|| |≤|a+b|。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣－∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣＋∣b∣

①当且仅当a、b反向时，左边取等号。

②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣－∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣＋∣b∣

①当且仅当a、b同向时，左边取等号。

②当且仅当a、b反向时，右边取等号。

关于向量加减的三角不等式

当向量a,b至少一个为零向量，等号均成立。

当向量a,b均不为零向量：

若a‖b，a与b方向相同，

|a|+|b|＝|a＋b|，|a－b|＝||a|-|b||。

若a‖b，a与b方向相反，

|a|+|b|＝|a－b|，|a＋b|＝||a|-|b||。

注：应为||a|-|b||≤|a±b|≤||a|+|b||.

向量不等式有哪些?

向量不等式有如下：

1、基本不等式：

√(ab)≤(a+b)/2，那么可以变为 a^2-2ab+b^2 ≥ 0，a^2+b^2 ≥ 2ab，ab≤a与b的平均数的平方。

2、绝对值不等式公式：

| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|。

| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。

3、柯西不等式：

设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2) 当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取等号。

4、三角不等式

对于任意两个向量b其加强的不等式，这个不等式也可称为向量的三角不等式。

5、四边形不等式

如果对于任意的a1≤a2b1≤b2，有m[a1,b1]+m[a2,b2]≤m[a1,b2]+m[a2,b1]，那么m[i,j]满足四边形不等式。